不等式的证明题

证明：∵X+Y+Z=2，且X，Y，Z，为正数,据两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
∴2(1/X+1/Y+1/Z)=2/X+2/Y+2/Z=(X+Y+Z)/x+(X+Y+Z)/y+(X+Y+Z)/Z
=1+Y/X+Z/X+X/Y+1+Z/Y+X/Z+Y/Z+1
=3+(Y/X+X/Y)+(Z/X+X/Z)+(Z/Y+Y/Z)
≥3+2+2+2=9
即 1/X+1/Y+1/Z≥9/2
证毕.

证法一(均值不等式)
2*(1/x+1/y+1/z)
=(x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)
=1+1+1+(y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(z/x+x/z)
[均值不等式]
≥3+2+2+2
=9
即1/x+1/y+1/z≥9/2
取等号时
x=y=z
代入x+y+z=1得x=y=z=2/3

证法二(柯西不等式)
由柯西不等式
[∑(i=1,..,n)xi^2]*[∑(i=1,..,n)yi^2]≥[∑(i=1,..,n)xiyi]^2
取等号时x1/y1=x2/y2=..=xn/yn

(x+y+z)*(1/x+1/y+1/z)≥(1+1+1)^2=9
即1/x+1/y+1/z≥9/2
取等号时x/(1/x)=y/(1/y)=z/(1/z)
即x^2=y^2=z^2 x=y=z
与x+y+z=1联立
解得x=y=z=2/3

(x+y+z)/3≥3/(1/x+1/y+1/z),1/x+1/y+1/z≥9/2
算术平均数大于调和平均数