初三四点共圆证明题，火急呀！！！

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/15 03:29:02

0为△ABC内一点， BO，CO分别交AC,AB于D,E ，若BE×BA+CD×CA=BC^2
求证：A,D,O,E四点共圆

(我三点就要赶火车了，请大家帮帮忙！)
其实本不用图的，还是画个吧！

如图，作∠CDF = ∠ABC 交CB于F，连接EF

△CDF 相似于△CBA，

所以 CD*CA = CF*CB = CF*(CF+FB)

即有 BE*BA = BC^2-CD*CA =(CF+FB)^2 -CF*(CF+FB)=FB*(FB+CF)= BF*BC

又 ∠EBF=∠CAB ，所以△BEF相似于△BCA

综上，△CDF 相似于△CBA 相似于△EBF

所以 CF/DF=EF/BF，∠EFC=∠EFD+∠DFC=∠EFB+∠DFC=∠DFE。

因此 △CFE 相似于 △DFB

于是，∠ADB=∠DCF+∠DBF=∠BEF+∠CEF=∠BEC

所以 ∠ADB +∠AEC =∠BEC +∠AEC = 180°

对角互补的四边形，四个顶点在同一圆上，所以A,D,O,E四点共圆

对不起，弄的这么慢，关键是只能用初中所学的知识，呵呵，希望你早点看到