急！！！请数学高手帮帮忙 求极限！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 09:03:16
已知数列a=1/2,Sn=[a/(1-a^2)] + [a^2/(1-a^4)]+ [a^4/(1-a^8)]+ ……+[a^（2n-1)/(1-a^2n)]，
求lim(n→+∞)Sn 是多少？
不好意思，题目错了
已知数列a=1/2,Sn=[a/(1-a^2)] + [a^2/(1-a^4)]+ [a^4/(1-a^8)]+ ……+[a^2^(n-1)/(1-a^2n)]，
求lim(n→+∞)Sn 是多少？

抱歉，昨天回去上不去网，今天补上。。。。足足考虑了1个小时，现在思路不够敏捷了。。呵呵，主要是总局限在裂项，找催化剂没有找很久！下面简单补上思考过程：
首先比较想到的是裂项：
an=a^2^(n-1)/(1-a^2^n)
=(1/2)*{1/[1-a^2^(n-1)]-1/[1+a^2^(n-1)]}
裂项裂开了，消除不掉。

还有个考虑是lim an/a(n-1)=lim a^2^(n-1)/(1+a^2^n)=1
也不行

考虑到催化剂！
Sn=[a/(1-a^2)] + [a^2/(1-a^4)]+ [a^4/(1-a^8)]+ ……+[a^2^(n-1)/(1-a^2^n)〕
Sn-1/(1-a)=a/(1-a^2)-1/(1-a)+.........
=-1/(1-a^2)+a^2/(1-a^4)+.....
=-1/(1-a^4)+..............
=-1/(1-a^2^n)

a=1/2
Sn-2=-1/(1-1/2^2^n)
Sn=2-1/(1-1/2^2^n)

lim(n→+∞)Sn =2-1=1