已知数列｛an｝和｛bn｝满足：

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 06:50:43
已知数列｛an｝和｛bn｝满足：bn=(a1+2a2+3a3+...+nan)/(2+4+6+...+2n)求证：｛an｝是等差数列的一个充分条件是{bn}为等差数列。

b(n)=(a1+2a2+3a3+...+nan)/(2+4+6+...+2n)
=(a1+2a2+3a3+...+nan)/[(2n+2)*n/2]
=(a1+2a2+3a3+...+nan)/[(n+1)*n]
n*(n+1)*b(n)=a1+2a2+3a3+...+na(n)
取n为n-1
n*(n-1)*b(n-1)=a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)
两式相减得
n*[(n+1)b(n)-(n-1)b(n-1)]=n*a(n)
(n+1)b(n)-(n-1)b(n-1)=a(n)
b(n)首项为b1 设公差为d(d为常数)
(n+1)[b1+(n-1)d]-(n-1)[b1+(n-2)d]=a(n)
a(n)=2b1+(3n-3)d
而b1=a1/2
则a(n)=a1+(n-1)*3d
{an}为首项为a1 公差为3d(d为常数) 等差数列

没悬赏啊~ 不爱做了就