最值求解

求导可以发现，在（0，1）上增，在（1，无穷）上减。最大值为f(1),最小值其实是存在的 ，只是取不到。在0点与正无穷处，函数都不断趋近于0.这个证明属于高等数学的内容，我可以简单写一下，看不懂没关系，知道就可以了。x->0时，ln(x+1)->0, 而lnx/(x+1)-lnx=-xlnx/(x+1),而x->0时，xlnx是趋近于0的（xlnx=lnx/1/x,由洛必达法则，其极限为(1/x)/(-1/x^2)的极限，即为0.对于x->无穷时，由于f(x)=((x+1)ln(x+1)-xlnx)/(x+1)，再用洛必达法则有极限为ln(1+1/x)在无穷处极限，显然是0.因此，函数在0处，正无穷处有极限0，但是显然是取不到的。
高中阶段，求出最大值就行了，其余的了解一下。

楼下说的没错，不能叫最小值，应该叫下确界。
高中的极限证明方法比较麻烦，（至少我能给出的较麻烦）而且要用到竞赛上的结论，就不写了。

f(x)=(lnx)/(x+1)-(lnx)+ln(x+1)的定义域是开区间(0,正无穷),故该函数的最值只能在驻点上取得,求1阶导数得
df/dx=-lnx/(x+1)^2
令df/dx=0,求得唯一驻点x=1.这说明该函数仅有一个最(极)值.
求2阶导数得(2x(lnx)-(x+1)^2)/(x(x+1)^3)
将x=1代入上式可得2阶导数在x=1点为负,从而可知函数在x=1取得最大值ln2,该函数没有最小值.

为了加深理解,可以分析一下当x向区间(0,正无穷),两端趋近时的行为:
将该函数化为f(x)=(lnx)/(x+1)+ln(1+1/x),当x趋近正无穷时,右边第一项和第二项实际上均趋近零,但不能达到零.当x趋近零时,同样也可以证明f(x)也趋近零.

求导，定义域x>0
f'(x)=-lnx/(x+1)^2
这个应该没有最小值吧，只有一个极值点

取不到那还能叫最小值吗，最值是一定要取到的~~