圆与向量问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 06:43:14
在三角形ABC中，三边AB=8,BC=7,AC=3，以A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A的人以一条直径，记T=→BP·→CQ，则T的最大值为

以下向量都是只用首尾字母表示。
T
= BP*CQ
=(BA+AP)*(AQ-AC) [注意AP=-AQ]
=(BA-AQ)*(AQ-AC)
=AB*AC+(BA+AC)*AQ-AQ^2
=|AB||AC|cos<BAC>+BC*AQ-4 [|AQ|=2]
=21(3^2+7^2-8^2)/2*3*7+|BC||AQ|cos<BC,AQ>-4
=-4+16cos<BC,AQ>-4
=16cos<BC,AQ>-8
<=16-8
=8，其中等号成立的充要条件是 <BC,AQ>=1，即BC//AQ.

8+2根号13。画出图像，设∠BAQ为∠1，∠CAP为∠2，则∠1＋∠2=240°（用余弦算出∠A=60°），把向量转化成（→BA＋→AP）·（→CA＋→AQ），然后化简，得到只含有∠1的式子，最后用辅助角公式求出最大值。