三角形四心的组合的性质证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/03 03:55:28
1。三角形的任何顶点到垂心的距离，等于外心到对边距离的两倍。
2。三角形的内心和任一顶点的连线平分外心、垂心和这一顶点连线所成的角。
3。三角形的外心、垂心、重心三个点在一条直线上（需证明），且重心与垂心的距离是外心与重心距离的2倍。
三个命题（其实是4个）都帮我证明下，有图最好，如果没有图端点一定要说清楚，谢谢了^^

1:
画任意一个三角形ABC，垂心为D，外心为E，设B垂AC于F，
C垂AB于H，做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角
S为△ABC的面积
由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R
由图像得∠c=∠BEH
∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)
CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH
AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2
代入上式得CD=AB/tanc=2DH
∴命题得证

1:
画任意一个三角形ABC，垂心为D，外心为E，设B垂AC于F，
C垂AB于H，做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角
S为△ABC的面积
由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R
由图像得∠c=∠BEH
∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)
CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH
AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2
代入上式得CD=AB/tanc=2DH
∴命题得证