高二数学题 高分

1<=x^2+y^2<=2
x=rcosa
y=rsina
1<=rr<=2
z=x^2+xy+y^2
=rr(cosa)^2+rr(sinacosa)+rr(sina)^2
=rr[1+(1/2)sin(2a)]
z<=2[1+(1/2)sin(2a)]<=2*[3/2]=3
z>=1[1+(1/2)sin(2a)]>=1[1/2]=1/2

解:由1<=x^2+y^2<=2

-(x^2+y^2)/2<=xy<=(x^2+y^2)/2

(x^2+y^2)/2)<=xy+x^2+y^2<=3(x^2+y^2)/2

(x^2+y^2)/2<=z<=3(x^2+y^2)/2

1/2<=z<=3

由(x-y)^2≥0,可得到xy≤(x^2+y^2)/2,因为1≤x^2+y^2≤2,所以xy≤1
那么z=x^2+xy+y^2≤3
令x^2+y^2=r(1≤r≤2)，这是个环形，在以原点为圆心1与√2为半径的同心圆之间，所以可设x=√rcosθ,y=√rsinθ,xy=rcosθsinθ=r/2sin2θ,那么-r/2≤xy≤r/2,又因为1≤r≤2，所以-1/2≤xy，则z≥1/2
综合一下1/2≤z≤3