(高1数学)若不等式 x² +ax+1≥0对一切x∈(0,1/2)成立,则a的最小值是?

f(x)=X^2+AX+1的对称轴是x=-A/2 ,f(0)=1且我们就通过讨论对称轴来看它的图象
情况一 当-A/2<=0时 A>=0 时 f(x)在[0,1/2]的区间上是单调递增的 f(x)>= f(0)=1>0 所以满足条件A>=0
情况二 当0<-A/2<1/2时 -1<A<0时 只要函数的最小值>=0就可以了 什么时候取最小值呢? 也就是在对称轴那一点取 f(x)=(x+A/2)^2+1-A^2/4>=1-A^2/4>=0
=>-2<=A<=2 又因为前面的-1<A<0 所以 -1<A<0
情况三 当-A/2>=1/2时 A<=-1 f(x)在[0,1/2]上单调递减 则f(x)>=f(1/2)=1/4+A/2+1=5/4+A/2>=0 =>A>=-2.5又因为A<=-1 所以 -2.5<=A<=-1
三种情况并起来 也就是A的范围 A>=-2.5就可以满足条件
即a的最小值是:-2.5

用基本方法，分离参变量即可：
ax>=-x^2-1
即：a>=-x-1/x(因为x>0,不等号不用反向)
然后这个式子对x∈(0,1/2)恒成立，则a>=max(-x-1/x)
而函数f(x)=-x-1/x在(0,1/2)上是单调递增的，所以max{f(x)}=f(1/2)=-2.5
所以a>=-2.5
所以a的最小值是-2.5

做图看,
它是过(0,1)开口向上的抛物线,对称轴为x=-a/2
所以可以看可a为正看,对称轴在左半平面,不等式衡成立
a为负时,就分情况了
而a 最小时,就是不等式刚好成立取等号的时候
此时x=1/2
(1*2)*(1/2)+a*(1/2)+1=0
a=-5/2