锐角三角函数与一元二次方程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 04:55:06
在直角三角形ABC中，角C=90°，斜边长c＝5，两条直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x^2-mx+2m-2=0的两个根，求直角三角形ABC中较小锐角的正弦值

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设a为较短边，b为较长边。
由韦达定理可得a+b=m ① ab=2m-2 ②
因为a，b，c为RT△ABC三边
所以a²+b²=c²=25
配方得（a+b）²=25+2ab
把①②带入得m²=25+4m-4
解得m=3或7
带入原方程可得x²-3x+4=0 ③
x²-7x+12=0 ④
因为方程③无解
所以m=7，原方程为x²-7x+12=0
解得x=3或4，
又因为a为较短边，b为较长边
所以a=3，b=4
所以RT△ABC中较小锐角的正弦值 即sinA=a/c=3/5