三角形ABC中 最大角C与最小角A之差为90度 且sinA+sinC=2sinB求a:b:c

C-A=90
C=90+A
sinC=sin(90+A)=cosA
所以sinA+cosA=2sinB
两边平方
(sinA)^2+2sinAcosA+(cosA)^2=4(sinB)^2
1+sin2A=4(sinB)^2=4-4(cosB)^2

C=90+A
A+B+C=2A+90+B=180
2A=90-B
sin2A=sin(90-B)=cosB
所以1+cosB=4-4(cosB)^2
4(cosB)^2+cosB-3=0
(cosB+1)(4cosB-3)=0
因为0<B<180
所以cosB=-1不成立
cosB=3/4
所以(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=3/4

sinA+sinC=2sinB
由正弦定理
a+c=2b
所以a^2+2ac+c^2=4b^2
a^2+c^2-b^2=3b^2-2ac
所以(3b^2-2ac)/2ac=3b^2/2ac-1=3/4
b^2=7/6*ac
代入a^2+2ac+c^2=4b^2
a^2+2ac+c^2=14/3*ac
3a^2-8ac+3c^2=0
a=[(4±√7)/3]*c
A<C
所以a<c
所以a/c=(4-√7)/3

b=(a+c)/2=[(7-√7)/6]*c

所以a:b:c=(4-√7)/3:(7-√7)/6:1