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解：1.由韦达定理可知α+β=p,αβ=q
而α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)=(α+β)[(α+β)^2-3αβ]=p(p^2-3q)
且α^3*β^3=q^3
设以α^3,β^3为根的一元二次方程为x^2-ax+b=0
由韦达定理可知α^3+β^3=a=p(p^2-3q),α^3*β^3=b=q^3
所以，以α^3,β^3为根的一元二次方程为x^2-p(p^2-3q)x+q^3=0.
2.因为以α^3,β^3为根的一元二次方程仍是x^2-px+q=0，
所以p(p^2-3q)=p且q^3=q
解得q=0或q=1或q=-1
而pq≠0，
当q=-1时，代入p(p^2-3q)=p，p无解，
所以，q=1，此时，p=±2
所以方程为x^2-2x+1=0或x^2+2x+1=0

x^2-px+q=0(pq≠0)两实根为α,β.
=>α+β=p,
α*β=q.
=>α^3+β^3=(α+β)^3-3*α*β*(α+β)=p^3-3*p*q,
α^3*β^3=q^3.
=>以α^3,β^3为根的一元二次方程为x^2-(p^3-3*p*q)x+q^3=0.
以α^3,β^3为根的一元二次方程仍是x^2-px+q=0.
=>p=p^3-3*p*q
q^3=q. =>q=1,-1,0(pq≠0,故弃之)
接下来求p就可以了，舍弃非实根，答案是：
x^2+2x+1=0
x^2-2x+1=0
也可以从α^3和β^3就是α,β联立，得两个方程组，分别解之。