导数应用——优化问题！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/08 12:10:12
一条长为L的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两端铁丝的长度分别是多少？

设分别长为x,L-x,
则这两个正方形的边长为x/4,(L-x)/4
则这两个正方形的面积为：x^2/16,(L-x)^2/16
它们的面积和为：x^2/16+(L-x)^2/16=(L^2-2Lx+2x^2)/16
[用导数解:(L^2-2Lx+2x^2)/16 的最小值]
设f(x)=(L^2-2Lx+2x^2)/16
f'(x)=-2L+4x
令f'(x)<0,x<L/2;f'(x)>0,x>L/2
f'(x)=0,x=L/2
所以当x=L/2时f(x)取得最小值
所以，长度都是：L/2.

设一段的长度为x，则另一段为L-x,面积和为S
则S=x^2/16 + (L-x)^2/16
=(L-2xL-2x^2)/16
令：U=L-2xL-2x^2 求导得u=-4x-2L 令u=0
解得x=L/2
（注 ^2表示平方。）