一道关于奥数函数的问题，急！！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 17:59:08
设f(x)是定义在R上的函数,若f(0)=2008，且对任意x∈R，
满足f(x+2)-f(x)≤3*2^x
f(x+6)-f(x)≥63*2^x
求f(2008)等于多少。
请给出详细过程，答得好的加分。不会的请别来。

设g(x) = f(x) - 2^x.

由
f(x+2)-f(x)≤3*2^x,
f(x+6)-f(x)≥63*2^x

有
f(x+2) <= f(x) + 3*2^x
f(x) <= f(x+6) - 63*2^x

g(x+2) = f(x+2) - 2^(x+2) <= f(x) + 3*2^x - 4*2^x = f(x) - 2^x = g(x)
g(x) = f(x) - 2^x <= f(x+6) - 63*2^x - 2^x = f(x+6) - 2^(x+6) = g(x+6)

g(x+2) <= g(x) <= g(x+6)

g(x+4) = g(x+2 + 2) <= g(x+2) <= g(x)
g(x+4) = g(x-2 + 6) >= g(x-2) >= g(x-2 + 2) = g(x)

g(x) <= g(x+4) <= g(x),
所以，
g(x+4) = g(x)

g(x)是周期函数，4是g(x)的1个周期。

所以
f(2008) - 2^(2008) = g(2008) = g(4*502) = g(0) = f(0) - 2^0 = 2008 - 1

f(2008) = 2^(2008) + 2007

因为f(x+2)-f(x)≤3*2^x,有
f(x+4)-f(x+2)≤3*2^(x+2)
f(x+6)-f(x+4)≤3*2^(x+4)
三式相加有f(x+6)-f(x)≤63*2^x
而f(x+6)-f(x)≥63*2^x 有f(x+6)-f(x)=63*2^x
且等号成立的条件是f(x+2)-f(x)=3*2^x
有f(x+2)=f(x)+3*2^x
f(2008)=f(2006)+3*2^2006
=f(2004)+3*2