勾股定理难题

例1 如图1是一个长8m,宽6m,高5m的仓库,在其内壁的A(长的四等分点)处有一只壁虎,B(宽的三等分点,且靠近顶点N)处有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处的最短路程是多少?(参考数据:11.182≈125,10.822≈117)
解析:把这个长方体展开,然后运用勾股定理求解.但有两种展开方式:
(1)如图2中的部分展开图,连接AB,过点B作对边的垂线,垂足为C.因为A为长的四等分点,B为宽的三等分点,所以AC=6+4=10m,
BC=5m,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=125.所以AB≈11.18m.
(2)如图3中的部分展开图,连接AB.由已知得AC=6m,BC=5+4=9m,所以AB2=AC2+BC2=117.所以AB≈10.82m.
因为11.18>10.82,所以壁虎沿第二种路线爬行最近,最短路程是10.82m.
温馨提示:解决立体图形中任意两点间的最短路程问题,应充分运用转化思想,将立体图形转化为平面图形,或将曲面转化为平面,从而把问题转化为平面内两点间的最短距离问题,构造出直角三角形后,运用勾股定理即可求解.
二、求平面图形中的最短路程
例2 如图4,一牧民在A处放马,他的家在B处,A、B两处到河岸 的距离AC、BD的长分别为500m和700m,且C、D两地距离为500m,天黑前牧民从A点将马牵到河边去饮水,然后再回家,那么牧民最少要走多少米的路程?
解析:本题实质上是求两条线段和最短的问题.由于A、B两点在直线 的同侧,故应作出其中一个点关于直线 的对称点.为此,作点A关于直线 的对称点A1,连接BA1.由轴对称知识及三角形三边关系知,A1B的长就是所求的最短路程.作A1E⊥BD交BD的延长线于点E.在Rt△A1BE中,BE=BD+DE=700+500=1200m,A1E=CD=500m.由勾股定理,得A1B2=BE2+A1E2=12002+5002=13002,所以A1B=1300(m).故牧民最少要走1300米的路程.
温馨提示:求平面内几个点的距离之和最小值问题,通常要运用轴对称知识、三角形三边关系,把问题转化为“两点间的最短距离”问题,再运用勾股定理进行计算.

长方形操场ABCD中有一个旗杆,旗杆的顶端是P