圆的切线性质证明

用反证法，

设直线l与⊙O切于点P,
假设过切点的半径OP与切线l不垂直，
过点O作l的垂线，垂足为Q,
则OP为直角三角形OPQ的斜边。
又，OQ⊥l于Q,
则OQ的长就是圆心O到切线l的距离，
所以OQ的长等于⊙O的半径，即OQ=OP,
这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾。
所以假设的OP与l不垂直不成立。
所以OP与l垂直。

如果能用解析几何的话就方便了。

假设圆的方程为(x-1)^2+(y-1)^2=1，那么通过旋转切线，可假设切线经过原点(0,0)，因此方程为y=kx或x=py。利用切线性质（方程联立判别式为0），求出其中一条切线为x=0，垂直于过切点(1,0)的直径（方程为x=1），另一条同理。

以直径为斜边在圆内作一个直角三角形.这样该直角三角形的直角点就一定在圆弧上.然后把其中一条直角边向圆外延长,使它和该圆的切线相交. 这样只需要证明圆外的小三角形和该图形最大的三角形相似.就可以得出切线和直径是垂直的了. (因为直径所对的圆周角是90度)
注意,证明相似的过程中要用到"弦切角"的知识.

一定要用反证法，而且反证法简单，性质的证明，书上给出的都是最简单的方法，如果可以有别的简单方法，它不会不写。