基本不等式的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 23:43:27
有这样一道题
X+Y=1
问，1/X + 4/Y的最小值
我有个地方不解，答案我知道是9 是把1代换成X+Y 然后能用基本不等式解得9
但是我用了另外一种方法,答案却不一样,希望你们帮我找出错误的地方
我是用1/X + 4/Y大于等于2根号1/X乘4/Y的 当且仅当1/X=4/Y时等式成立,也就是说Y=4X 即X=1/5 Y=4/5 这样的话带如得最小值为5+5=10 我错在哪里了??? 希望大家指出!
补充下题目 X Y都大于0

X > 0,
Y > 0 时
1/X + 4/Y >= 2（4/(XY)）^(1/2）
当且仅当1/X=4/Y时等式成立。
这些都非常正确啊。

可是，
等式成立，只能说明1/X + 4/Y >= 某个和X,Y有关的函数而已。
并不能保证等式成立时，1/X + 4/Y 达到最小。

换句话说，
对于任何2个正数X,Y，总有
1/X + 4/Y >= 2（4/(XY)）^(1/2）成立，
而且1/X = 4/Y时，上式的等号成立.
可是，这并不能保证1/X = 4/Y时的2（4/(XY)）^(1/2）是所有的2（4/(XY)）^(1/2）中的最小的。

所以，1/X + 4/Y >= 2（4/(XY)）^(1/2）成立这个结论，对发现1/X + 4/Y的最小值来说，没有直接用处。

这也就是为啥一般用不等式来发现最小值的时候，不等号的1边一定要是常数的原因吧。

1/X + 4/Y = (X+Y)/X + 4(X+Y)/Y = 5 + Y/X + 4X/Y >= 5 + 2
等号成立当且仅当Y/X = 4X/Y
这个思路太妙了。
【注意，它的不等号的1边是常数7.】

注意基本不等式的前提条件是两数必须同号！！
而题目中只知道x+y=1,并不确定其是否同号！！
但正确方法却可以用基本不等式，其原因是最后化为5+Y/X+4X/Y，
很明显Y/X与4X/Y是同号的！