函数F（ax+b）=F（cx+d）括号内参数相加…

我想那句话想表达的意思是：

括号内参数相加，用ax＋b与cx＋d相加，结果得（a＋c）x＋（b＋d）；

所谓未知数x消掉了，就是指a＋c＝0，没有消掉就是a＋c≠0。

在a＋c＝0的情况下，他说，b＋d再除以2，也就是直线x＝（b＋d）／2是函数y＝F（x）的图象的对称轴；

而当a＋c≠0时，他断言F（x）是周期函数。

他的第一个结论是对的，第二个结论则不完全对，需要再加一些条件。

第一个结论的证明如下：

若a＋c＝0，也就是c＝－a，令p＝（b＋d）／2，t＝ax＋（b－d）／2，显然，我这里假定a≠0，因为否则就没有什么好讨论的了；因此，当x取遍每一个实数值时，t也能取遍每一个实数值，于是

F（p＋t）＝F（ax＋b）＝F（d－ax）＝F（p－t）

对每一个实数t都成立，由此显然可见函数y＝F（x）的图象关于直线x＝p＝（b＋d）／2对称。

至于第二个结论，假如a＝c≠0，而且b＝d，那么这个式子就会成为一个恒等式，随便一个函数都能满足它，不见得必须是周期函数，好比说我取F（x）＝x，它就不是周期的，但也能使得等式成立。

假如a＝c≠0，而且b≠d，令t＝ax＋b，则F（t）＝F（t＋d－b）对任意实数t成立，因此F（x）是周期函数，｜d－b｜就是它的一个周期。

假如a≠c，且a≠－c，又假设函数F是连续的，则可以证明F（x）等于常数，常数当然是周期函数。实际上，不妨设a≠0，且｜c／a｜＜1（假如不然，即｜c／a｜＞1，那么c≠0，这时将a与c的地位互相交换即可）。为了方便，记t＝ax＋b，m＝c／a，n＝
（ad－bc）／a，则有

F（t）＝F（ax＋b）＝F（cx＋d）＝F（mt＋n）

对任意实数t成立。左边的t用mt＋n代替，又有

F（t）＝F（mt＋n）＝F（m（mt＋n）＋n）＝F（（m＾2）t＋n（1＋m））

一般地，用数学归纳法可以证明

F（t）＝F（（m＾k