高分拜求某高数概念证明，数学达人请进！！！

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2个无理数之间一定有有理数的存在.
设x,y是两个无理数,不妨设x<y,任意在数轴上取两个有理数点A,B,使得A<x<y<B,如果不存在这样的点A,B是不可能的,(有理数可以任意大,也可以任意小,比如取-10^n,10^n,n可以充分大),由于A,B是有理数,故(A+B)/2也必是有理数,且A<(A+B)/2<B,如果x<(A+B)/2<y,则命题得证,否则x,y均<(A+B)/2,或x,y均>(A+B)/2,如果是前者,则取A1=A,B1=(A+B)/2,如果是后者,则取A1=(A+B)/2,B1=B,此时A1<x<y<B1,(A1+B1)/2也必是有理数,且A1<(A1+B1)/2<B1,如果
x<(A1+B1)/2<y,则命题得证,否则x,y均<(A1+B1)/2,或x,y均>(A1+B1)/2,按上面的方法又可确定出A2,B2,使得A2<x<y<B2,
这样一直作下,最后必有x<(An+Bn)/2<y,命题得证,有理点(An+Bn)/2介于x,y之间,如果不是这样,由B1-A1是B-A的一半,B2-A2是B1-A1的一半,作n次Bn-An是B-A的1/2^n,并且Bn-An可以任意小下去,而x,y之间的距离不变,所以使x,y始终保持在An,Bn之间是不会发生的.

我给出的证明不用其它已有的结论,如有理数的稠密性等,也不用实数理论,无理数是有理数列的极限点这些结论,否则这就是显然的事实.