高数题要过程50分

高数？ 高中题吧 不难 打的麻烦

设切点(x,y)
x^2/a^2+y^2/b^2=1两边求导：2x/a^2＋2yy'/b^2＝0，y'＝－xb^2/(ya^2)，切线方程是：Y－y＝－xb^2/(ya^2)[X－x]，整理得截距式方程：
X/(a^2/x)＋Y/(b^2/y)＝1，两截距分别是a^2/x，b^2/y.

所以，切线与两坐标轴所围的三角形的面积S＝1/2×a^2b^2/(xy)

因为1＝x^2/a^2＋y^2/b^2≥2xy/ab，等号成立的条件x/a＝y/b，解得x＝a/√2，y＝b/√2

所以，S≥ab，此时切点是(a/√2，b/√2)

设切点的坐标为（acosα，bsinα），
根据椭圆方程求导2x/a^2+2y*y'/b^2=0
y'=-b^2x/a^2y,
所以切线方程的斜率k=-bcosα/asinα
切线方程为y-bsinα=-bcosα/asinα（x-acosα）
即y=-bcosα/asinαx+b/sinα，
所以与x轴截距为a/cosα，y轴截距为b/sinα
三角形面积S=ab/2sinα*cosα=ab/sin2α当α=45°面积最小为ab

第一象限内的椭圆x??/a??+y??/b??=1上一点 P(acosθ,bsinθ)（0<θ<π/2） ，过P点切线方程为 xcosθ/a+ysinθ/b=1 切线与两坐标轴交点 (0,b/sinθ)，(a/cosθ,0)，所围的三角形的面积 S=ab/sin2θ≥ab，当且仅当 θ=π/4 ，即P点为(a√2/2,b√2/2)时所围成的三角形面积最小。

x^2/a^2+y^2/b^2=1
对其两边进行求导，可以得到：
2x/a^2+2yy'/b^2=0
可以得到：
y'=-b^2x/a^2y,为椭圆上任一点切线的斜率函数。

假设所求的点为（m,n）,
则过该点的切线方程为：
y-n=-b^2m/a^2n(x-m)