当M为何值时，分式方程3/X+6/（X-1）=（M+X）/（M^2-X）有解

X 不等于0，1，M^2.

M = 0时，
3/X + 6/(X-1) = X/(-X) = -1,

3(X-1) + 6X = -X(X-1),

3X - 3 + 6X = -X^2 + X,

X^2 + 8X - 3 = 0,

8^2 + 12 > 0.
【而0，1都不是X^2 + 8X - 3 = 0的解。】
所以，方程有解。

M = 1时，
3/X + 6/(X-1) = (1+X)/(1-X) ,

3/X = (7+X)/(1-X),

3 - 3X = 7X ＋ X^2,

X^2 + 10X - 3 = 0,

10^2 + 12 > 0.
【而0，1都不是X^2 + 10X - 3 = 0的解。】
所以，方程有解。

M不等于0，1时
3(X-1)(M^2 - X) + 6X(M^2 - X) = (M+X)X(X-1),

3XM^2 - 3M^2 - 3X^2 + 3X + 6XM^2 - 6X^2 = MX^2 - MX + X^3 - X^2,

X^3 + X^2[M+8-6M^2] -X[M+3+3M^2] + 3M^2 = 0.

令X = 0, 3M^2 = 0.所以，0不是上面方程的解。
令X = 1, 6（M^2 - 1） = 0.所以，1不是上面方程的解。

而3次方程至少有1个解。

所以，M为任何实数值，原来的分式方程都有解。