急死了f(x)=大根号下(x2=1/x)，a(下脚码n+1)=f(an)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 18:34:50
f(x)=大根号下(x2=1/x)，a(下脚码n+1)=f(an),证明（（(n+1)^(2/3)）/4）-1小于等于1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+……1/an小于等于4（(n+a)^(2/3)）-1
这是一道高中题，哪位高人指点！小弟谢谢了！
打错了点，第一行应该是f(x)=大根号下(x^2+1/x)，a(下脚码n+1)=f(an),a1=1,然后证明

a_(n+1)=√[(a_n)??+1/(a_n)] ，a_1=1，1/(a_n)=[a_(n+1)]??-(a_n)?? ，1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_n)=[a_(n+1)]??-1 。问题转化成证明 [n^(1/3)]/4≤(a_n)??≤4*[n^(1/3)] ，应用归纳法，当 n=1 时显然成立，假设 n=k 时成立，又 a_(k+1)=√[(a_k)??+1/(a_k)] ，有 1/[2*k^(1/3)]+[k^(2/3)]/4≤[a_(k+1)]??≤2/[k^(1/3)]+4*[k^(2/3)] 。而易知 (2k+1)^3≤8k*(k+1)^2≤8*(k+2)^3， 即 [(k+1)^(2/3)]/4≤1/[2*k^(1/3)]+[k^(2/3)]/4 且 2/[k^(1/3)]+4*[k^(2/3)] ≤4*[(k+1)^(2/3)] ， 于是 [(k+1)^(2/3)]/4≤[a_(k+1)]??≤4*[(k+1)^(2/3)] ， 即 n=k+1 时结论也成，由归纳法知结论成立。