如果某人立有遗嘱，将房子赠与大儿子，但小儿子又未成年，是否该房本也要挂上小儿子的名字？

不必，应以遗嘱为准。
但是，如果某人去世时其小儿子仍未成年，则应先给其保留必要的生活费用，其余财产按遗嘱处理。。

不会

按照法律的规定，遗嘱应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产份额。所以，公民立遗嘱时不能剥夺法定继承人中无独立生活能力的未成年人的继承权。那么遗嘱处理的房产中在为未成年的小儿子保留必要的份额后，大儿子才有继承权。