闭集与闭包

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/06 13:49:44

已知集合B是A的闭包，那么B是不是闭集？

大虾们~书上的所有例子都说明B闭集，但是没有证明阿~怎么证明？拜托啦~越快越好

考虑B的补集C，任取一点c
c有个邻域E交A为空集
如果这个领域交B不空，则有一点a属于E交B
a的领域交B都非空，得到c的邻域和A交，矛盾

所以C是开集
B就是闭集

根据闭包的定义，S与它的聚点全体S'的并集为S的闭包。闭集的定义则要求，S中包含了它的全部聚点。可以看出闭包的范围比闭集的范围还要大，满足了闭包就一定满足闭集的条件。