已知函数f(x)=1/3x^3-1/2x^2+cx+d有极值.求c的取值范围

解：对f(x)求导得：f'(x)=x^2-x+c,因为有极值，所以令f'(x)=0,
即x^2-x+c=0。
要使得x^2-x+c=0这个一元二次方程有根，那么就要判别式∆>=0,
也就是b^2-4ac>=0, 此题a=1, b=-1, c=c, 所以1-4c>=0
最后求得c<=1/4.

上面是我的解题思路，希望对您有所帮助。

⑴.∵f(x)有极值
∴f¹(x)=x²-x+c=0有两解
Δ=1-4c>0
解得 c<1/4

⑵∵f(x)在x=2处取得极值
∴f¹(2)=4-2+c=0 得 c=-2
则 f(x)=1/3x^3-1/2x^2-2x+d
f(x)<1/6d^2+2d 恒成立
即1/3x^3-1/2x^2-2x+d<1/6d^2+2d
1/3x^3-1/2x^2-2x<1/6d²+d 恒成立

令g(x)=1/3x^3-1/2x^2-2x
g¹(x)=x²-x-2=0
解得 x=-1 或 x=2 （舍）
当x<-1时 g¹(x)>0
当-1<x<0时 g¹(x)<0
所以g(x)在区间（-∞，-1]上单调增加，在[-1,0)单调减少，故g(x)在x=-1处取得最大值g(-1)=-1/3-1/2+2=7/6

∵1/3x^3-1/2x^2-2x<1/6²+d 恒成立
∴1/6d²+d>g(-1)=7/6
d²+6d-7>0
解得 d<-7 或 d>1
d的取值范围为（-∞，-7）∪（1，＋∞）

没有＝的情况