将抛物线旋转45度后的方程式

将方程为y=x²化为极坐标形式：将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入原方程得：
ρsinθ=ρ²cos²θ,
设旋转后的任意一点极坐标为（ρ1，θ1），直角坐标为（x1，y1），
且x1=ρ1cosθ1,y1=ρ1sinθ1
因为绕原点旋转π/4，所以ρ=ρ1，θ=θ1+π/4，代入ρsinθ=ρ²cos²θ得,
ρ1sin(θ1+π/4)=ρ1²cos²(θ1+π/4)
sinθ1·cos(π/4)+cosθ1·sin(π/4)=ρ1[cosθ1·cos(π/4)-sinθ1·sin(π/4)]²
cos(π/4)=sin(π/4)=1/√2,于是
(1/√2)(sinθ1+cosθ1)=ρ1(1/√2)²(cosθ1-sinθ1)²
sinθ1+cosθ1=ρ1(1/√2)(cosθ1-sinθ1)²
设将cosθ1=x1/ρ1,sinθ1=y1/ρ1代入上面方程：
y1/ρ1+x1/ρ1=ρ1(1/√2)(x1/ρ1-y1/ρ1)²
即(x1-y1)²=(√2)(y1+x1)
由于（x1，y1）的任意性，（x1，y1）换成（x，y），即
(x-y)²=(√2)(y+x)
这就是旋转后抛物线的方程。

值得做的题呀！

设抛物线y=x²上任一点（x，y）对应的极坐标为（ρ，θ）
则x=ρcosθ，y=ρsinθ
将抛物线y=x²以原点为中心按顺时针方向旋转45度后得到一条新曲线的对应点（x’，y’）的极坐标（（ρ，θ-45°）
所以
x’=ρcos（θ-45°）=ρcosθcos45°+ρsinθsin45°=xcos45°+ysin45°=√2/2（x+y）
y’=ρsin（θ-45°）=ρsinθcos45°-ρcosθsin45°=ycos45°-xsin45°=√2/2（y-x）
即x+y=√2x’，y-x=√2y’
联立解得x=