积分的中值定理

　　积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

　　若函数  在闭区间  上连续,，则在积分区间  上至少存在一个点  ，使下式成立

　　其中，a、b、  满足：a≤  ≤b。

在数学定理的证明中，我们总是希望用最弱的条件推出最强的结论。这样定理的适用性强，应用范围广，而且也符合我们的审美逻辑。
楼主可以看到，在罗尔定理的证明中，如果f(a)=f(b)，则完全可以找到(a,b)里的一点ξ，使得f(ξ)取到极值，从而f'(ξ)=0。这样定理的结论中写ξ∈[a,b]和ξ∈(a,b)都没有错，但是为了让结论最强，我们选择ξ∈(a,b)
对于积分中值定理的第一个证明，我们也