二阶常系数齐次线性微分方程 通解
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/03 20:30:16
求微分方程y-2y+5y= 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=1+2i r2=1-2i 是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
帮忙解释下r1怎么会等于1+2i,r2怎么会等于1-2i谢谢!
y'' - 2y' + 5y = 0,
设y = e^[f(x)],则
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
当f(x) = ax + b, a,b是常数时。
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2个解都满足微分方程。所以,微分方程的实函数解为,
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或
y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的实函数的通解为,
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)]