若a〉0，b〉0，a+b=1求证a的4次方+b的4次方≥1/8

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1
由于a^2+b^2≥2ab
因此a^2+b^2≥1/2
(a^2+b^2)^2≥1/4

(a^2+b^2)=a^4+2a^2b^2+b^4

由于a^4+b^4≥2a^2b^2
因此a^4+b^4≥(1/4)/2=1/8

得证。

因为a、b大于0
所以a+b大于等于2倍根号下ab
所以1大于等于2倍根号下ab
即ab小于等于1/4

又因为a的4次方+b的4次方大于等于2倍a的平方b的平方
所以a的4次方+b的4次方大于等于2倍1/4的平方，即1/8

(a+b)^2≥0，即 2(a^2+b^2)≥(a+b)^2，在上式中以a^2,b^2代替a,b 得 2(a^4+b^4)≥(a^2+b^2)^2 ，所以 (a^4+b^4)≥(1/2)(a^2+b^2)^2≥(1/2)[(1/2)(a+b)^2]^2=(1/2)*(1/2)^2=1/8 。