哪句正确?

都是对的
但是这两种都很少用，
直接说He is an English teacher就好了。

没有错吧

第一句的话时态不对,因为要表明他是教英语的我们都说HE TEACHES ENGLISH,而he is teaching english表示他正在叫英语.
所以第一句意思是他是一个正在教英语老师 而不能明确表达他是英语老师
所以第2对

第一句错了 因为 想当然认为 teaching english 是修饰 teacher 其实是不对的 因为此时此刻一旦句子结构这样写，teaching english 就修饰 he. 所以译成 教英语的他是老师。 语意重复。 因此第二句是对的 因为定语从句修饰 teacher. 不会出现重复现象了

第一句只是省略了个东西，意思还一样

都对
第一句表身份
第二句表职业（都差不多）