与更夫签订的是定时工作制，现在此人提出支付加班费问题，怎么办？

按照合同来衡量。如果当时未约定加班费，其要求是没有根据的。因为更夫在一般情况下是没有加班的。
至于以睡觉为由不支付加班费不直接理由。只能算是你查岗不严，或者算是违犯了纪律。

定时工作制，可以理解为综合工作制，即每周工作40小试以下，最少休一天，不不确定休息日的工作制叫不定时工作制，不定时工作制，除了法定假日，没有加班费。不确定休息日，是劳动合同法的规定。但没有休班，也不能休息，与不定时工作制不符，不定时工作制是不好确定工作时间，如业务员，随时出差，随时可休息，不确定，自己掌握，但不定时工作制不是延长工作时间的避风港。
在单位睡觉是工作时间内，经单位允许的，算工作时间，每天工作13个小时每周共91小时超过40小时一倍多，严重违法。尽早妥善解决。