如何严格地证明

初等方法很难证明...
应用泛函分析中的压缩不动点定理(映射T将点点距离缩短)
在赋范线性空间R中,sinx显然在x一定大之后恒小于x,故满足压缩不动点定理.
在赋范线性空间R中满足Tx=x的点只有1个,故sinx=x只有一个实根

令f(x)=x-sinx
f(0)=0,所以0是一个根
f‘(x)=1-cosx>=0
所以f(x)是一个非减函数，所以只能有一个根

sinx＝x只有一个实根x=0
当
x属于(0,w/2)时
用单位圆
利用面积大小可知
sinx<x
即在(0,w/2)时
sinx＝x无实根
由奇函数的对称性知
在（－w/2，0）内也无实根
二在其它区间，x＞1＞sinx
也无实根

所以
方程sinx＝x只有一个实根0

设F(X)=sinx ,g(x)=x

当x=0时，F(X)=g(x)=0
当x＞0时 求导可知，F`(X)=-cosx .g`(x)=1
可知 g`(x)≥F`(X) 恒成立
同理 当x＜0时 亦成立
故只有当x=0时，F(X)=g(x)=0

sinx在(-1,1)上!
令f(x)=x-sinx
f(0)=0,所以0是一个根
f‘(x)=1-cosx>=0
所以f(x)是一个非减函数，所以只能有一个根