初中数学竞赛题30分求详细解答

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 05:12:42
求方程的所有正整数解.

分不多，30分请高手笑纳！麻烦给个解答过程！

根据题意，存在正整数t，使得x+y=3t,x^2-xy+y^2=7t

3xy=(x+y)^2-(x^2-xy+y^2)=9t^2-7t
而由(x-y)^2>=0知道(x+y)^2>=4xy.所以
9t^2>=(4/3)(9t^2-7t)=12t^2-28t/3
导出t<=28/9。
但是t是正整数，所以t=1、2、3
从3xy=(x+y)^2-(x^2-xy+y^2)=9t^2-7t看出3能整除7t，所以3必能整除t
于是只有t=3可能符合要求
当t=3时，解出(x,y)=(4,5)或(5,4)
这就是所有解

X+Y=3K X2-XY+Y2=7K 代入法解
X+Y=3K X²-XY+Y²=7K 代入法解