随机变量和它的分布函数是一一对应的么？

是一一对应的。
这个谈不上证明，在随机数学发展史上，人们研究各种随机现象，并对其建立数学模型（随机变量就是一种数学模型）。然后人们想对模型进行描述，比较普遍的有5种描述：概率分布函数，概率密度函数，概率特征函数，概率质量函数，概率生成函数。这5种函数都是和随机变量一一对应的，都能完全的描述出随机变量的所有特性。
总之：概率分布函数就为了完全地描述随机变量而产生的，当然必须一一对应。