已知正整数x1 、 x2 、x3 、 x4 、 x5、,且x1 + x2 + x3+ x4 + x5= x1 x2 x3 x4 x5。求x5的最大值。

由于等号两边都是轮换对称式，故x1到x5的地位都是相同的。
不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5
则有：x1+x2+x3+x4≤4x5
原式变换后代入：x1+x2+x3+x4=(x1x2x3x4-1)x5≤4x5
故：x1x2x3x4≤5
分情况讨论：
1）若x1x2x3x4=5，则四个数分别为1、1、1、5，x5=2，与假设矛盾。
2）若x1x2x3x4=4，则四个数分别为1、1、1、4（无解）或1、1、2、2，x5=2。
3）若x1x2x3x4=3，则四个数分别为1、1、1、3，x5=3。
4）若x1x2x3x4=2，则四个数分别为1、1、1、2，x5=5。
5）若x1x2x3x4=1，则四个数分别为1、1、1、1，无解。

综上，x5最大值为5。

X5=(x1 + x2 + x3+ x4 )/( x1 x2 x3 x4 -1) （x1 、 x2 、x3 、 x4 都是1是不可能的）
若x1 、 x2 、x3 、 x4 中有3个是1，那么X5=(3+ x )/( x -1) 是正数，那么
(X5,x)=(5,2)或者(3,3)或者(2,5)
若x1 、 x2 、x3 、 x4 中至多2个是1，设为X3,X4那么x1 + x2 + x3+ x4 <2(X1+X2)<2(x1x2)
故X5<3
综上知道，X5最大是5
(x1,x2,x3,x4,x5)=(1,1,1,2,5)