关于一个解析几何方程（非高中解析几何）

解：
(1)首先研究一下直角坐标系的旋转，假设有直角坐标系x-o-y经过逆时针旋转角度A，形成新的坐标系X-O-Y。在复平面来看，旧坐标系一点坐标（x,iy）对应新坐标系一点（X，iY），关系是：
（x + iy）（cosA + isinA）= X + iY
X = xcosA - ysinA
Y = xsinA + ycosA
这是一个转换关系公式，由于旋转的相对性，公式中（X，Y）和（x，y）可以相互交换，只是角度方向定义不同而已。（复数形式的推导相对简单，其他方法也可以证明。）
(2)假设新旧坐标转换关系如下:
x = XcosA - YsinA
y = XsinA + YcosA
将x，y代入原式子化简：
5x^2 +8 x y + 5y^2 = 9
5 X^2 + 5 Y^2 + 8 X Y Cos[2 A] + 4 X^2 Sin[2 A] - 4 Y^2 Sin[2 A]=9
选择A=45°，则：
5 X^2 + 5 Y^2 + 4 X^2 - 4 Y^2 = 9
9 X^2 + Y^2 =9
X^2/1^2 + Y^2/3^2 = 1
这是一个标准的椭圆方程，长半轴是3，短半轴是1 。
新坐标系逆时针旋转45°和原坐标系重合。
（ok）