急求一道奥赛题答案

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 19:30:48
有一个点，横纵坐标为（√2，√3）．证明，在坐标轴上任何一个横纵坐标为整数的点到这个点的距离都不相等

先证明，有理数a,b,c.如果a+b√2+c√3＝0.则a=b=c=0.

假如b≠0,则c≠0,否则√2为 有理数，不可，

并且a≠0,否则b√2+c√3＝0,√6＝-3c/b为有理数，不可。

此时，√3＝d√2+e（d,e有理数，非零）平方之后，√2为有理数，不可。

总之：b=0.同理，c=0.从而a=0.

再看整点A（m,n）,B（s,t）与C（√2,√3）.假如|AC|＝|BC|.则有：

（m-√2）²+（n-√3）²＝（s-√2）²+（t-√3）²

m²+n²-s²-t²-2（m-s）√2-2（n-t）√3＝0.

从先前的结果-2（m-s）=-2（n-t）＝0，即m=s,n=t.A,B重合。

这就是说，不同的整点，到（√2，√3）的距离一定不相等。