高二数学三角函数好难啊！

sina+sinb+sinc
=sina+2sin(b/2+c/2)cos(b/2-c/2)
=sina-2sin(a/2)cos(b/2-c/2)
设sin(a/2)≤0，则
原式≤sina-2sin(a/2)，当cos(b/2-c/2)=1时取等号
令A=sina-2sin(a/2)
A=2sin(a/2)cos(a/2)-2sin(a/2)
=-2sin(a/2)[1-cos(a/2)]
=2*2sin(a/4)cos(a/4)*2sin(a/4)^2
=8sin(a/4)^3*cos(a/4)
A^2=64sin(a/4)^6*cos(a/4)^2
令x=cos(a/4)^2，f(x)=A^2，则x∈[0，1]
f(x)=64x(1-x)^3
f'(x)=64[(1-x)^3-3x(1-x)^2]
=64(1-4x)(1-x)^2
当f'(x)=0时f(x)取极值，解得x=1或1/4
x=1时，f(x)=0；x=1/4时，f(x)=27/4；x=0时，f(x)=0。
故A^2的最大值为27/4，A的最大值为3根号3比2。。。。（根号实在打不出了）

综上，原式的最大值为3根号3比2，当sin(a/2)≤0且cos(b/2-c/2)=1且cos(a/4)^2=1/4时取的，例如a=-4π/3，b=c=2π/3时。