高中数学，函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 04:27:05
已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),若方程f(x)=0有且仅有2009个实数解，求这2009个实数解之和

f(1-x)=f(1+x)
令 1-x = t
则 1+x = 2-t
f(t) = f(2-t)
即
f(x) = f(2-x)

若 f(x) = 0
则 必然同时有 f(x') = 0 , 其中 x' = 2-x
x 和 x' 构成 f(x) = 0 的一对解, 且
x + x' = 2

方程f(x)=0有且仅有2009个实数解
所以 可划分成 1004 对 解, 以及 另外一个单解
对于 1004 对解, 它们的和是
1004 * 2 = 2008

而对于另外一个单解, 说明
x' = x
2 -x = x
x = 1

因此所有实数解之和为
S = 1004*2 + 1 = 2009