UC知道傅里叶级数
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 01:30:53
看同济5版的【高等数学】，级数一章中的傅里叶级数。在傅里叶级数的形式推倒这块。为了确定三角级数中的系数a0、an、bn（n=1、2、3...）：它先假定函数f(x)可以展开为形如a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]。接着它进一步假设三角级数a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]可以逐项积分。即：把：
f(x)=a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]两边积分，这样可以确定出a0。然后它在将等式f(x)=a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]两边乘以cos(kx)再积分。这样可以确定ak。同理，乘以sin(kx),再积分，可以确定出bk。
我想问：书上假定a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]可以逐项积分，若三角级数a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]可逐项积分，函数f(x)就一定是可以积分的么？还有，若f(x)可以积分，那f(x)乘以con(kx)【即f(x)cos（kx)这个函数】也就可以积分了么？另外，级数a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]各项乘以con(kx)后，也还可以逐项积分么？
请知道的朋友指点一下，详细说下为什么，谢谢！
f(x)=a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]两边积分，这样可以确定出a0。然后它在将等式f(x)=a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]两边乘以cos(kx)再积分。这样可以确定ak。同理，乘以sin(kx),再积分，可以确定出bk。
我想问：书上假定a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]可以逐项积分，若三角级数a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]可逐项积分，函数f(x)就一定是可以积分的么？还有，若f(x)可以积分，那f(x)乘以con(kx)【即f(x)cos（kx)这个函数】也就可以积分了么？另外，级数a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]各项乘以con(kx)后，也还可以逐项积分么？
请知道的朋友指点一下，详细说下为什么，谢谢！
那本书在这个地方交代不明，它应该还需要假设三角级数在乘以cos(nx)和sin(nx)后仍然是可逐项积分的~！
4年前我肯定会做。。。。。
现在都还给老师了
先说一句，这种讲法似乎不大严密，至少我学的时候傅立叶级数不是这么证明的。
回答你的问题：
从理论上来讲，f等于一个连续函数组成的级数，所以本身也连续，因此在一个周期上可积，f*coskx同理。另外cosnx*coskx这类函数显然是可积的。最后原级数乘coskx后积分的收敛性可以很方便的用定义证明。
补充：我的傅立叶级数是这么学的：
先对于连续且周期性的f定义cn(f)=...，以及对应的an和bn；
然后研究对于什么样的f他的傅立叶级数收敛；
最后研究对于什么样的f，f等于它的傅立叶级数。
没看懂你想问什么。
那我就乱讲了哈。
1.如果f(x)不可积，那么能不能把它展成傅里叶级数？这是个问题。在没见到具体论证前最好不要把不可积函数展成傅里叶级数。
2.级数a0/2+Sum[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]各项乘以cos(kx)后进行积分，除了ak*cos(kx)项外，其他项都是0.
第一个问题的严格证明我不清楚，但应该没问题。对于后两个问题，你要是先了解三角函数系的正交性就不难证明了。它是说：con(kx)*con(lx),只要k不等于l，它在一个周期上的积分就为零。con(kx)*sin(Kx)的积分也同样。所以乘上sin(nx)或con(kx)后，其逐项积分就剩下了对应的那一项而已，当然是可积。