旋转体的体积 问题

圆柱薄壳法

先画个图，图的样子是一个曲边梯形，平行的两边是x=a,x=b，上下分别是y=f(x)和x轴

将曲边梯形沿x轴分割成若干个小的曲边梯形，则大的曲边梯形绕着y轴旋转地体积等于各个小曲边梯形绕着y轴旋转地旋转体体积之和
所以，该体积在[a,b]上对于变量x具有可加性

在[a,b]任取一小区间[x,x+dx]，并设其旋转体积是ΔV（旋转后是个圆柱的薄壳）(令dx=Δx>0)
则，ΔV介于两圆柱薄壳的体积之间
2πx|f(ξ1)|Δx≤ΔV≤2πx|f(ξ2)|Δx
<圆环的体积是 2πx|f(x)|Δx >
其中，|f(ξ1)|=min{|f(t)|}, x≤t≤x+Δx
|f(ξ2)|=max{|f(t)|}, x≤t≤x+Δx
即，2πx|f(ξ1)|≤ΔV/Δx≤2πx|f(ξ2)|

由于f(x)连续，ξ1,ξ2∈[x,x+Δx]
可知，当Δx→0,f(ξ1)→f(x),f(ξ2)→f(x),
所以，以上不等式两边取极限Δx→0
得到，dV/dx=lim(Δx→0)[ΔV/Δx]=2πx|f(x)| <夹逼定理>
从而，dV=2πx|f(x)|dx
作x从a到b得定积分
V=∫[a到b]2πx|f(x)|dx
=2π∫[a到b]x|f(x)|dx

你可以试着想像这个旋转体
是由一个个空心的圆环柱组成
每个圆环柱的体积是*f(x)dx x∈（a，b）【2π*x指周长 f（x）指高 dx指宽度】
然后对x a 到b 积分就可以了

朋友：旋转体的体积问题需要用到定积分，现在我不能看见你的题目，这类问题我很拿手，你能将你的问题发到我邮箱吗？明天我一定帮你解决！（1024898215@qq.com）