全国数学联赛初三组 题1道

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 02:26:21
如图,已知,△ABC内接于⊙O,PA、PB分别切⊙O于A、B,C为优弧AB上一点(不与A、B重合),M为弦AB的中点,连结PC、MC.求证:∠ACM=∠PCB.

我觉得这道题 比较好 但是不会做 希望大家多多帮助.

连接OP,交圆O与D,由垂径定理，OP过M点，弧AD=弧BD,AD平分角PAD，PD:DM=PA:AM=AO:OM,不难证明，直角三角形AOM∽直角三角形POA，PO：OA=OA:OM,即PO：OC=OC:OM,
由余弦定理，得PC^2:CM^2=(PO^2+OC^2-2PO*OC*cos角POC):(MO^2+OC^2-2MO*OC*cos角POC).而(-2PO*OC*cos角POC):(-2MO*OC*cos角POC)=PO^2:OC^2=OC^2:OM^2=PC^2:CM^2(等比定理）.即PC:CM=OC:OM=AO:OM=PD:DM,由角平分线性质定理逆定理，知CD平分角PCM,而CD又平分角ACB,故:∠ACM=∠PCB
另证：延长CM交圆于Q，由相交弦定理，CM*MQ=AM*MB=AM^2=PM*MO,故C,O,Q,P四点共圆，角QPO=OCQ=OQC=OPC,
延长PQ交圆于N,由对称性(或作弦心距），可证弧QD=DH(H为PC与圆交点）
故CD平分角PCM，由此可得结论

好难，经过计算能得到