平面几何问题！急

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 21:38:58
三角形ABC内接于圆，M是BC的中点，AM交圆于P，连接BP,CP交AC,AB于E,F，EF交AP于N，求证，N是EF中点

由塞瓦定理得：EN/NF * FC/AC * AB/BE=1
EN/NF=AC/FC * BE/AB=AC/AB * BE/CF (1)
由于∠EBP与∠FCP互补，所以sin∠EBP=sin∠FCP,又∠EPB=∠FPC,所以有BE/PE=sin∠EPB/sin∠EBP=sin∠FPC/sin∠FCP=CF/PF
所以有BE/CF=PE/PF
所以有EN/NF=AC/AB * PE/PF
由于ABCP四点共圆，BM=CM，所以很容易得AB/CP=AM/CM=AM/BM=AC/BP,所以AC/AB=BP/CP
所以EN/NF=BP/CP * PE/PF=BP/PF * PE/CP
由梅涅劳斯定理可得BP/PF * AF/AC * CM/BM=1
CM=BM,所以BP/PF=AC/AF
同理可得CP/PE=AB/AE
所以EN/NF=AC/AF * AE/AB=AC/AB * AE/AF (2)
由(1)(2)可得AE/AF=BE/BF,即AE/BE=AF/CF,所以AE/AB=AF/AC,所以EN/NF=AC/AF * AE/AB=1,EN=NF