求其外接球体积的最小值

（1）设长方体三边长a,b,c
则表面积s = 2(ab+bc+ca) = 12
即ab+bc+ca=6
所以外接球直径d=(2r)^2 = a^2+b^2+c^2
= (a^2+b^2 + b^2+c^2 + c^2+a^2)/2
≥(2ab+2bc+2ca)/2
= ab+bc+ca
= 6 ，(当且仅当a=b=c时，取等号)
即 r ≥√6 /2
所以体积V =（ 4/3）πr^3 ≥ （4/3）π（√6 /2）^3= 6√6=π√6
即其外接球体积的最小值为π√6

(2)由（1）知长方体是正方体
所以AC⊥斜线B1D在面ABCD上的射影BD，
所以AC⊥斜线B1D
同理CD1⊥斜线B1D
又AC，CD1交于C
所以直线B1D⊥平面ACD1

（1）三边长a,b,c
表面积s = 2(ab+bc+ca) = 12
外接球半径r, （2r）^2 = a^2+b^2+c^2 = 0.5(a^2+b^2 + b^2+c^2 + c^2+a^2)
>=0.5(2ab+2bc+2ca) = ab+bc+ca = 6 (a=b=c)
即 r >= √6 /2
体积V = 4/3*pi*r^3 >= 4/3*pi*6√6 / 8=pi*√6

(2)由（1）知长方体是正方体。因此必定有AC⊥BD，同时BB1⊥面ABCD，因此有BB1⊥AC, 而BB1和BD是面DBB1D1上的两条相交直线，从而可证AC⊥面DBB1D1，所以AC⊥B1D (B1D是面DBB1D1中的一条直线）
同理可证DB1⊥CD1
因AC,CD1是面ACD1上的两条相交直线，所以BD1⊥面ACD1