一道高中几何选择题

解：设AB=a、AC=b、AD=c。
∵S△ABC+S△ABD+S△ACD
=(ab+bc+ca)/2
又∵ab≤（a^2+b^2）/2；
bc≤（b^2+c^2）/2；
ca≤（c^2+a^2）/2,
∴ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2,
而a^2+b^2+c^2=4^2=16,
∴S△ABC+S△ABD+S△ACD≤8，即最大值8.选A。

注意：本题的图形是在一个球面内有一个内接长方体，AB、AC、AD是从长方体一个顶点出发的三条棱。因此，a^2+b^2+c^2=4^2=16。
事实上，凡是过一点的三条线段两两垂直，垂直的三条线段，都可以作为长方体的三条相邻的棱。

AB、AC、AD两两互相垂直
四面体A-BCD可以看作长方体的一角
外接球的直径等于对角线
可知AB2+AC2+AD2=16

有因为S△ABC=AB*AC/2=<(AB2+AC2)/4
S△ACD=AC*AD/2=<(AC2+AD2)/4
S△ABD=AB*AD/2=<(AB2+AD2)/4

S△ABC+S△ABD+S△ACD=<(AB2+AC2+AD2)/2=8
选A