求解导数证明问题

答：
1
f(x)在x=0处可导，f'(0)=A.
f(x)是R上连续的奇函数，f(0)=0,
lim f(x)/x=A(x→0)
lim {[f(x)-f(0)]}/(x-0)=A(x→0),
由导数定义知
f'(0)=lim {[f(x)-f(0)]/(x-0)=A(x→0)
2
可导奇函数满足
f(x)=-f(-x)
两边求导
f'(x)=f'(-x)
导函数是偶函数，
可导偶函数满足
f(x)=f(-x)
两边求导
f'(x)=-f'(-x)
导函数是奇函数。
3
充分必要条件是
lim (x^2-a^2)g(x)/x (x→a)存在，
充分性
lim (x+a)g(x) (x→a)存在，
f(x)=(x^2-a^2)g(x),f(a)=0,
lim [f(x)-f(a)]/(x-a)
=lim (x+a)g(x) (x→a)
由已知极限存在，所以
f'(a)存在，f'(a)=2ag(a)
必要性
f'(a)存在，由导数的定义
lim [f(x)-f(a)]/(x-a) (x→a)的极限存在，代入即有
lim (x+a)g(x) (x→a)存在。
4
f(x1+x2)=f(x1)f(x2),
取x1=x2=0,得f(0)=1[f(0)=0不合题意]，
所以
lim [f(△x)-f(0)]/(△x-0)=f'(0)=1 (△x→0)
取x1=x,x2=△x,△x→0,
f(x+△x)=f(x)f(△x),
f(x+△x)-f(x)=f(x)[f(△x)-1]
f'(x)
=lim [f(x+△x)-f(x)]/△x
=lim f(x)*[f(△x)-1]/△x
=lim f(x)
=f(x)(△x→0)
所以f(