为什么四次以上的方程没有公式解

这个问题涉及群论，是抽象代数里面的内容。

到了18世纪，数学家们对于四次或四次以下的方程都能求解。数学史上罕见的天才女数学家之一尼尔斯·诺特于1823年严格证明：五次以上的高次方程“通常”没有根式解（这一点，早在1799年，就有人做出了几乎正确的证明）。

但是，某些五次方程的确是有解的，它们与无解的五次方程的差异何在？法国数学家伽罗华于1832年发明了群论，回答了这个问题。

群的概念以抽象的形式抓住了对称的本质。每一个代数方程都有一个对称群，即伽罗华群，其抽象结构决定着高次方程的解能否用平方根、立方根之类的根式来表达。伽罗华群可以告诉我们，哪些高次方程的解是可以用由根式组成的有限公式来表达的，但是并不能给出这个公式。如今的计算机程序不仅可以计算出一个高次方程的伽罗华群，而且能给出求解公式（如果有解的话）。