求证【(2n)!】/(2^n*n!)=1*3*5*（2n-1）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 23:00:44
快！！！！！！！！！！！！！！

n=1时显然成立
假设在n=k,k>=2时也成立
则(2k)!/(2^k*k)=1*3*5*……(2k-1)
则n=k+1时
左边=(2k+2)!/[2^(k+1)*(k+1)!]
=(2k+2)(2k+1)*2k!/[(2^k*k!)*2*(k+1)
=(2k+1)*[2k!/(2^k*k)]
=(2k+1)*1*3*……(2k-1)
=1*3*5……(2k-1)*(2k+1)
右边=1*3*5*……(2k-1)*(2k+1)
左边=右边
故n=k+1时也成立
故命题成立

[(2n)!]/(2^n*n!)
=[1*3*5*...*(2n-1)][2*4*6*...*2n]/(2^n*n!)
=[1*3*5*...*(2n-1)][1*2*3*...*n]/n!
=[1*3*5*...*(2n-1)]

[(2n)!]/(2^n*n!)
=1*2*3*4*5*...*2n/(2^n*1*2*3*4*...*n)
=[1*(2/2)*3*(4/2)*5*(6/2)*...*(2n-1)*(2n/2)]/(1*2*3*4*...*n)
=[1*3*5*（2n-1）*(1*2*3*4*...*n)]/(1*2*3*4*...*n)
=1*3*5*（2n-1）
得证。

这个很简单啊~
(2n)!=（2n)!!*(2n-1)!!=2^n*n!*(2n-1)!!
挺简单的阿~~