求函数大题解析步骤答案

1
f(x)=aX^3-3X^2
f'(x)=3ax^2-6x
x=1是函数f(x)的一个极值点,则f'(1)=3a-6=0
a=2.

2
f'(x)=3ax^2-6x
f''(x)=6ax-6
f'(0)=0;
那么使在区间(-1,0)上f''(x)=6ax-6<0,
这样才能在区间(-1,0)上f'(x)>0
则f(x)在区间(-1,0)上才能是增函数
则
a>1/x.
∵-1<x<0
∴a≥0或a<-1.

3
g(x)=f′(x)=3ax^2-6x
g'(x)=f''(x)=6ax-6;
当g'(x)=0时,x=1/a;
如果g(1/a)是最大值,那它也应该是极大值.
但g''(x)=6a>0,说明函数是凹性的,只有极小值点,所以不能成立.

g(1/a)是极小值点,也是最小值.

若在x=0处取得最大值,则g(0)=0在[0,2]上是最大值.
因为g(x)=3ax^2-6x是凹性的,且只有一个极小值点,所以只要满足g(0)-g(2)=0-(3a×2^2-6×2)=12-12a>0就可以了
则正数a<1.

于是0<a<1