设A是实对称方阵。证r（A）=r（A^T*A）=r（A*A^T)

任意向量x，如果Ax=0，那么(A')Ax=0
因此Ax=0的解空间包含在(A')Ax=0的解空间中
解空间维度 n-r(A'A) >= n - r(A)
即 r(A) >= r(A'A)
如果A'Ax = 0,那么x'A'Ax=0
即（Ax）'Ax=0
于是Ax=0
推出A(A')Ax=0的解空间包含在Ax=0的解空间中
得到r(A) <= r(A'A)
因此r(A) = r(A'A)

先来证明r（A）=r（A^T*A）
只要证明AX=0的解空间和（A^T*A）X=0的解空间是相同的，就行了
若AX=0，则显然（A^T*A）X=0，所以关键是证明（A^T*A）X=0时，有AX=0
事实上，（A^T*A）X=0，则X^T*(A^T*A）X=0。改写一下，即(AX)^T*(AX)=0
而AX是一个n维向量，所以上式表明这个向量的模为0.故AX必然是零向量
即AX=0

既然r（A）=r（A^T*A）得证，那么把A换成A^T就有r（A^T）=r（A*A^T)
而r（A^T）=r(A),故本题证完

可以这样想：
任意向量x，如果Ax=0，那么(A')Ax=0
因此Ax=0的解空间包含在(A')Ax=0的解空间中
解空间维度 n-r(A'A) >= n - r(A)
即 r(A) >= r(A'A)
如果A'Ax = 0,那么x'A'Ax=0
即（Ax）'Ax=0
于是Ax=0
推出A(A')Ax=0的解空间包含在Ax=0的解空间中
得到r(A) <= r(A'A)
因此r(A) = r(A'A)

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